오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)

오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)은 변분법(calculus of variations)에서 중요한 개념으로,  최소 작용 원리(principle of least action)를 통해 물리계의 운동 방정식을 유도하는 데 사용됩니다.  쉽게 말해, 어떤 시스템의 운동을 기술하는 라그랑지안(Lagrangian)이 주어졌을 때, 그 시스템의 시간에 따른 진화를 기술하는 미분 방정식을 찾는 방법을 제공합니다.

핵심 개념:

- 라그랑지안 (Lagrangian, L):  시스템의 운동 에너지(kinetic energy)와 퍼텐셜 에너지(potential energy)의 차이로 정의됩니다.  L = T - V  (T: 운동 에너지, V: 퍼텐셜 에너지)  라그랑지안은 시스템의 상태와 시간에 대한 함수입니다.  일반화 좌표(generalized coordinates)와 일반화 속도(generalized velocities)를 사용하여 표현됩니다.

- 작용(Action, S): 라그랑지안을 시간에 대해 적분한 값입니다.  작용은 시스템의 전체적인 운동을 나타내는 양입니다.

latex   
S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}, t) dt
 

여기서,

-  qᵢ : 일반화 좌표 (i = 1, 2, ..., n)

-  q̇ᵢ : 일반화 속도 (시간에 대한 일반화 좌표의 미분)

-  t : 시간

- 최소 작용 원리:  물리계는 작용을 최소화하는 경로를 따라 운동합니다.  이 원리는 고전역학과 양자역학 모두에서 중요한 역할을 합니다.

오일러-라그랑주 방정식의 유도:

최소 작용 원리를 적용하여 작용 S를 최소화하는 조건을 찾으면 오일러-라그랑주 방정식을 얻을 수 있습니다.  이 과정은 변분법을 이용하며,  일반화 좌표  qᵢ 에 대한 작용의 변분(variation)이 0이 되는 조건을 구하는 것으로 귀결됩니다.  이 과정을 거치면 다음과 같은 방정식을 얻습니다.

latex   
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
 

이것이 바로 오일러-라그랑주 방정식입니다.  이 방정식은 각 일반화 좌표  qᵢ 에 대해 하나씩 존재하며, 시스템의 운동 방정식을 나타냅니다.

예시:

단순 조화 운동(simple harmonic motion)의 경우, 라그랑지안은 다음과 같습니다.

latex   
L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2
 

여기서,

-  m : 질량

-  x : 위치

-  k : 용수철 상수

오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 다음과 같은 운동 방정식을 얻습니다.

latex   
m \ddot{x} + kx = 0
 

이는 단순 조화 운동의 잘 알려진 미분 방정식입니다.

요약:

오일러-라그랑주 방정식은 라그랑지안으로부터 물리계의 운동 방정식을 체계적으로 유도하는 강력한 도구입니다.  고전역학뿐만 아니라,  상대론적 역학,  장 이론,  양자장론 등 다양한 물리 분야에서 널리 사용됩니다.

유도과정학습:
https://m.blog.naver.com/kang-elysian/223849454372

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