파스칼의 법칙 (Pascal's Rule)

파스칼의 법칙 (Pascal's Rule)

- 공식:   nCr = n! / (r! * (n-r)!)  (n은 총 개수, r은 선택 개수)

- 그래프: 이항 계수를 나타내는 이항 분포 그래프 또는 파스칼의 삼각형을 시각적으로 표현하는 것이 가장 좋습니다.  n의 값을 변화시키면서 그래프의 모양이 어떻게 변하는지 보여줄 수 있습니다.

파스칼의 법칙(Pascal's Rule)은 이항 계수를 계산하는 데 사용되는 조합 공식으로,  주어진 집합에서 특정 개수의 원소를 선택하는 경우의 수를 나타냅니다.  공식은 다음과 같습니다.

파스칼의 법칙 (Pascal's Rule) 공식

nCr = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

여기서:

- n 은 전체 원소의 개수 (총 개수)

- r 은 선택할 원소의 개수 (선택 개수)

- n! 은 n 의 계승 (factorial), 즉 n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1 을 의미합니다.

- \binom{n}{r} 는 n 개 중에서 r 개를 선택하는 조합의 수를 나타내는 이항 계수입니다.

파스칼의 삼각형 (Pascal's Triangle)

파스칼의 삼각형은 이항 계수를 시각적으로 나타내는 방법입니다.  각 행은 이항 계수 \binom{n}{r} (n은 행 번호, r은 0부터 n까지)의 값들을 나타냅니다.  삼각형의 가장자리에는 항상 1이 위치하고, 내부의 각 숫자는 바로 위의 두 숫자의 합으로 계산됩니다.

이항 분포 그래프 (Binomial Distribution Graph)

이항 분포는 특정 확률로 성공 또는 실패가 발생하는 독립적인 시행을 반복할 때 성공 횟수의 확률 분포를 나타냅니다.  이항 분포 그래프는 이항 계수를 이용하여 그려집니다.  그래프의 x축은 성공 횟수 (r), y축은 해당 성공 횟수의 확률을 나타냅니다.

n 값이 변화함에 따라 그래프의 모양은 다음과 같이 변합니다.

- n이 작을 때: 그래프는 비대칭적입니다. 성공 확률이 0.5일 경우, 그래프는 성공 횟수가 n/2 근처에서 최댓값을 가지며, n이 증가함에 따라 최댓값이 더 높아집니다.

- n이 클 때:  성공 확률이 0.5에 가까울수록 그래프는 대칭적인 종 모양 (bell-shaped)에 가까워집니다.  중심극한정리에 따라, n이 충분히 크면 이항 분포는 정규 분포에 근사합니다.

- 성공 확률이 0.5와 다를 때: 그래프는 비대칭이며, 성공 확률이 높을수록 최댓값은 오른쪽으로 치우치고, 성공 확률이 낮을수록 최댓값은 왼쪽으로 치우칩니다.

실제 그래프를 그리려면 통계 소프트웨어 (예: R, Python) 또는 스프레드시트 프로그램 (예: Excel)을 사용하는 것이 좋습니다.  n 값을 다양하게 바꿔가며 그래프를 그려보면 n 값의 변화에 따른 이항 분포의 모양 변화를 직접 확인할 수 있습니다.  특히, 성공 확률을 다르게 설정하여 그래프를 그려보는 것도 유용합니다.

사랑과 연민의 다리Bridge of Love and Compassion