유리 함수에 대한 부분 분수 분해 형태

rational function / partial fractional decomposition

이 표는 다양한 유리 함수에 대한 부분 분수 분해 형태를 보여줍니다. 각 행을 자세히 살펴보겠습니다.

1행:

- 유리 함수:  (px + q)/((x - a)(x - b)) , 여기서 a ≠ b.  분모가 두 개의 서로 다른 일차 인수의 곱으로 표현되는 유리 함수입니다.
- 부분 분수 형태:  A/(x - a) + B/(x - b) . 이 함수는 각각 일차 분모를 갖는 두 개의 더 간단한 분수의 합으로 분해될 수 있음을 보여줍니다. A와 B는 결정해야 할 상수입니다.

2행:

- 유리 함수:  (px + q)/((x - a)²) . 분모에 중복된 일차 인수가 있습니다.
- 부분 분수 형태:  A/(x - a) + B/((x - a)²) . 중복된 인수는 부분 분수 분해에 두 개의 항을 필요로 합니다. 하나는 인수의 1차 항이고 다른 하나는 인수의 제곱 항입니다.

3행:

- 유리 함수:  (px² + qx + r)/((x - a)(x - b)(x - c)) . 분모는 세 개의 서로 다른 일차 인수의 곱입니다.
- 부분 분수 형태:  A/(x - a) + B/(x - b) + C/(x - c) . 분해에는 각 일차 인수에 대한 세 개의 항이 있습니다.

4행:

- 유리 함수:  (px² + qx + r)/((x - a)²(x - b)) . 분모에 중복된 일차 인수 (x - a)와 서로 다른 일차 인수 (x - b)가 있습니다.
- 부분 분수 형태:  A/(x - a) + B/((x - a)²) + C/(x - b) . 2행과 3행의 패턴을 결합한 것입니다.

5행:

- 유리 함수:  (px² + qx + r)/((x - a)(x² + bx + c)) . 분모는 하나의 일차 인수와 하나의 기약 이차 인수(실수 일차 인수로 더 이상 인수분해할 수 없음)를 가지고 있습니다.
- 부분 분수 형태:  A/(x - a) + (Bx + C)/(x² + bx + c) . 이차 인수는 해당 부분 분수에 일차 분자 (Bx + C)를 필요로 합니다.

요약: 이 표는 부분 분수 분해를 사용하여 유리 함수를 더 간단한 분수의 합으로 표현하는 방법을 안내합니다. 특정 형태는 분모의 인수분해에 따라 달라집니다. 상수 (A, B, C)는 계수 비교 또는 x 값 대입과 같은 대수적 기법을 사용하여 구합니다.

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rational function   partial fractional decomposition

This table shows the forms of partial fraction decomposition for various rational functions.  Let's break down each row:

Row 1:

- Rational Function:   (px + q)/((x - a)(x - b)) , where a ≠ b. This represents a rational function where the denominator is a product of two distinct linear factors.
- Partial Fraction Form:  A/(x - a) + B/(x - b) .  This shows that the function can be decomposed into the sum of two simpler fractions, each with a linear denominator.  A and B are constants that need to be determined.

Row 2:

- Rational Function:  (px + q)/((x - a)²) . Here, the denominator has a repeated linear factor.
- Partial Fraction Form:  A/(x - a) + B/((x - a)²) .  The repeated factor requires two terms in the partial fraction decomposition, one with the factor to the first power and one with the factor squared.

Row 3:

- Rational Function:  (px² + qx + r)/((x - a)(x - b)(x - c)) . The denominator is a product of three distinct linear factors.
- Partial Fraction Form:  A/(x - a) + B/(x - b) + C/(x - c) .  The decomposition now has three terms, one for each linear factor.

Row 4:

- Rational Function:  (px² + qx + r)/((x - a)²(x - b)) . The denominator has a repeated linear factor (x - a) and a distinct linear factor (x - b).
- Partial Fraction Form:  A/(x - a) + B/((x - a)²) + C/(x - b) . This combines the patterns from rows 2 and 3.

Row 5:

- Rational Function:  (px² + qx + r)/((x - a)(x² + bx + c)) .  Here, the denominator has one linear factor and one irreducible quadratic factor (meaning it can't be factored further into real linear factors).
- Partial Fraction Form:  A/(x - a) + (Bx + C)/(x² + bx + c) .  The quadratic factor requires a linear numerator (Bx + C) in its corresponding partial fraction.

In summary: The table provides a guide for expressing rational functions as sums of simpler fractions using partial fraction decomposition.  The specific form depends on the factorization of the denominator.  The constants (A, B, C) are found using algebraic techniques like equating coefficients or substituting values of x.