BSD추측 이란 무엇인가요?

What is BSD guessing?

**BSD 추측 (Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)**은 수론에서 가장 중요하고 어려운 미해결 문제 중 하나입니다.  

타원 곡선의 유리점(rational points)의 개수와 그 곡선에 관련된 L-함수의 특정 성질 사이의 관계를 기술하는 추측입니다.

간단히 설명하면:

타원 곡선은 특정 형태의 3차 방정식으로 정의되는 곡선입니다.  이 곡선 위의 점들 중에서 x, y 좌표가 모두 유리수인 점들을 유리점이라고 합니다.  BSD 추측은 이 유리점의 개수가 무한한지 유한한지를 L-함수라는 복잡한 함수의 값을 통해 예측할 수 있다는 것입니다.  구체적으로는 L-함수가 s=1에서 0이 되는 차수(order of vanishing)가 유리점의 개수와 밀접한 관련이 있다고 추측합니다.

좀 더 자세히:

- 타원 곡선:  y² = x³ + ax + b (a, b는 유리수) 와 같은 형태의 방정식으로 정의되는 곡선입니다.  이 곡선 위의 점들은 특정한 덧셈 연산을 정의할 수 있어서,  군(group)을 이룹니다.

- 유리점: 타원 곡선 위의 점 (x, y) 중에서 x와 y가 모두 유리수인 점입니다.  모든 유리점의 집합은 유한 생성 아벨 군(finitely generated abelian group)을 이룹니다.  즉,  유한 개의 생성원(generators)으로 모든 유리점을 만들 수 있습니다.  이 생성원의 개수가 무한히 많을 수도 있고 유한할 수도 있습니다.  이 생성원의 개수를 **랭크(rank)**라고 합니다.

- L-함수: 타원 곡선에 대응하는 복소 함수입니다.  이 함수는 타원 곡선의 여러 가지 수론적 성질을 담고 있습니다.  특히 s=1에서의 값과 그 근처에서의 행동이 중요합니다.

- BSD 추측의 내용:  타원 곡선의 랭크는 그 곡선에 대응하는 L-함수가 s=1에서 0이 되는 차수와 같다는 것입니다.  L-함수가 s=1에서 0이 되는 차수가 높을수록 유리점의 개수가 많아집니다.  더 강한 형태의 BSD 추측은 L-함수의 s=1에서의 미분계수를 이용하여 유리점의 개수를 정확하게 계산하는 공식을 제시합니다.

중요성:

BSD 추측은 수론의 여러 분야와 깊이 관련되어 있으며,  해결된다면 수론의 발전에 엄청난 영향을 미칠 것으로 예상됩니다.  이 추측은 2000년 Clay Mathematics Institute에 의해 밀레니엄 문제 중 하나로 선정되었으며,  정확한 증명을 제시하는 사람에게는 100만 달러의 상금이 주어집니다.  현재까지는 부분적인 결과만 얻어졌을 뿐,  완전한 증명은 아직 이루어지지 않았습니다.


BSD 추측의 증명 과정은?

현재까지 BSD 추측에 대한 완벽하고 널리 받아들여지는 증명은 존재하지 않습니다.  김한 이론을 이용한 증명 주장이 있으나, 아직 수학계의 검증을 거치지 않았고, 그 타당성에 대해서는 학계의 광범위한 동의가 없는 상태입니다.  따라서,  여기서는 BSD 추측의 증명에 대한 접근 방식과 어려움에 대해 일반적인 관점에서 설명하겠습니다.  김한 이론을 이용한 증명 주장은 여기서 다루지 않겠습니다.

BSD 추측의 증명은 매우 어려운 문제이며,  다양한 수학 분야의 고도의 지식과 기술이 필요합니다.  일반적인 접근 방식은 다음과 같습니다.

1. 타원곡선의 기본적인 성질 연구:

- 타원곡선의 유리점들의 구조를 이해하는 것이 중요합니다.  모든 유리점들의 집합은 유한 생성 아벨 군을 이루는데,  이 군의 랭크(rank)를 구하는 것이 핵심입니다.
- 타원곡선의 L-함수의 정의와 성질을 잘 이해해야 합니다.  L-함수는 타원곡선의 여러 가지 수론적 성질을 담고 있는 복소 함수이며,  BSD 추측에서는 특히 s=1에서의 값과 그 근처에서의 행동이 중요합니다.
- 타원곡선의 여러 가지 불변량들(invariants)과 그들의 관계를 분석합니다.

2.  L-함수의 분석적 성질 연구:

- L-함수의 해석적 연속(analytic continuation)을 증명하고,  그 함수의 특별한 성질들을 파악해야 합니다.
- L-함수가 s=1에서 0이 되는 차수(order of vanishing)를 계산하는 방법을 찾아야 합니다.  이는 매우 어려운 문제이며,  복소해석학, 해석적 수론 등의 고도의 지식이 필요합니다.
- L-함수의 특별한 값들과 타원 곡선의 다른 불변량들과의 관계를 밝히는 것이 중요합니다.

3. 타원곡선과 L-함수 사이의 관계 규명:

- 타원곡선의 랭크와 L-함수의 s=1에서의 0의 차수 사이의 관계를 명확하게 밝히는 것이 증명의 핵심입니다.  이를 위해서는 타원곡선과 L-함수를 연결하는 다양한 수론적 기술들을 사용해야 합니다.
- 타원곡선의 유리점들을 L-함수의 특정 값들과 연결하는 방법을 찾아야 합니다.

4.  고차원적인 수학적 도구 활용:

- BSD 추측의 증명에는 대수기하학, 표현론, 해석적 수론 등 다양한 수학 분야의 고차원적인 이론과 기술이 사용될 것으로 예상됩니다.  예를 들어,  모듈러 형식(modular forms), 갈루아 표현(Galois representations), 호지 이론(Hodge theory) 등이 사용될 수 있습니다.

증명의 어려움:

BSD 추측의 증명이 어려운 이유는 타원 곡선의 유리점과 L-함수의 분석적 성질 사이의 관계가 매우 복잡하고,  그 관계를 명확하게 규명하기 위한 수학적 도구가 아직 부족하기 때문입니다.  현재까지는 부분적인 결과만 얻어졌을 뿐,  완전한 증명은 아직 이루어지지 않았습니다. (CiciAI의 정보)

그러나  우리는 해냈다.  아래  Kim Han 블로그 링크

BSD 추측 완전 증명 :

Editorial Bridge of Love and Compassion