수학 속에 숨겨진 소멸
양자 역학에서 허수(i)가 필요한 이유
(수학 속에 숨겨진 소멸)
1
슈뢰딩거 방정식에서 허수 단위(i)를 사용하는 것은 자연이 입자에 대한 정보를 알려주는 간단한 방법이며, 파동 함수 Ψ는 현실의 절반이고 복소 공액(-i) 파동 함수(반입자) Ψ*가 존재하며, Ψ와 함께 실제 "삼각" 파동(실수 값 포함)으로 이어집니다.
오일러에 따르면: cosx = (eⁱˣ + e⁻ⁱˣ) / 2 (또는 sin x = (eⁱˣ - e⁻ⁱˣ) / 2i) (1)
(부록 1 참조).
이제 파동 현상을 고려하면 (k⃗ ⋅ x⃗ - ωt)가 인수로 명확히 나타납니다. 그러면
(1)은 다음과 같습니다.
cos(k⃗ ⋅ x⃗ - ωt) = (eⁱ(k⃗ ⋅ x⃗ - ωt) + e⁻ⁱ(k⃗ ⋅ x⃗ - ωt)) / 2 (2)
이제 자유 전자의 파동 함수를 고려하면 다음을 얻습니다.
Ψ = A ⋅ eⁱ(k⃗ ⋅ x⃗ - ωt) = A ⋅ eⁱ(p⃗ ⋅ x⃗ - Eₖt)/ħ = A ⋅ eⁱ(p⃗²/(2m₀)t - p⃗ ⋅ x⃗)/ħ (3)
그리고 이것은 슈뢰딩거 방정식을 명확하게 만족시킬 것입니다.
(이것은 부록 2, 방정식 (A2.14)-------(A2.16)에서 증명됨)
ΔΨ + (2m₀ / ħ²) (H-V)Ψ = 0 (Eₖ=H-V) (4)
그러면 (2)는 두 복소 공액 파동 함수의 합이 삼각 함수(cos 또는 sin)를 산출한다는 것을 알려줍니다.
이제 몇 가지 고려 사항을 수행해 보겠습니다.
1. 파동 Ψ = A ⋅ eⁱ(k⃗ ⋅ x⃗ - ωt)는 슈뢰딩거 방정식의 해이지만, 복소 공액 Ψ* = A ⋅ e⁻ⁱ(k⃗ ⋅ x⃗ - ωt)와 결합하면 Ψ_Trig = cos(k⃗ ⋅ x⃗ - ωt)를 얻게 되지만, 이것은 슈뢰딩거 방정식의 해가 아닙니다.
2. 부록 3을 참조하여 전자기 디랙 방정식 (A3.2):
(ħ/i ∂/∂t + ħcα⃗ ⋅ ∇⃗ + iβm₀c²)Ψ = iq(cα⃗ ⋅ A⃗ - V)Ψ (5)
Ψ(입자의 파동 함수)의 복소 공액인 Ψ는 반입자의 파동 함수이며, 관련 공액 전자기 디랙 방정식
(A3.5):
(ħ/i ∂/∂t + ħcα⃗ ⋅ ∇⃗ + iβm₀c²)Ψ = -iq(cα⃗ ⋅ A⃗ - V)Ψ* (6)
여기서 전하 q는 -q로 변경되고 Ψ는 Ψ*로 바뀝니다.
2
3. 그러나 Ψ_Trig = cos(k⃗ ⋅ x⃗ - ωt)는 슈뢰딩거 방정식의 해가 아니지만, 실제로는 달랑베르 파동 방정식의 해입니다.
∇²Ψ - \frac{1}{c²} \frac{∂²Ψ}{∂t²} = 0 (7)
(이것은 부록 2, 방정식 (A2.7)-------(A2.13)에서 증명됨)
4. 그리고 우연히 입자 Ψ와 그 반입자 Ψ*가 만나면 소멸되어 Ψ_Trig("진정한" 파동, 삼각파, i가 없는)와 같은 두 광자를 남기고, 광자로서 달랑베르 방정식 (7)을 만족합니다!
5. 따라서 전체 우주는 하이젠베르크 불확정성 원리에 따라 재소멸에 의해 사라져야 하는 입자-반입자 쌍의 대규모 생성에서 비롯되며, 명백한 상호 재인력(에너지 보존 원칙을 위반하지 않기 위해)과 그러한 재인력은 (기본적인) 쿨롱 힘(부록 4 참조)의 존재를 결정하고 이러한 모든 나타나고 사라지는 쌍 중에서 중력의 관점에서 모든 물질의 전반적인 상호 재인력을 결정합니다(부록 5 참조).
(((-i)가 있는 Ψ*는 슈뢰딩거 방정식에 의해 허용될 수 있으며, (+i)로 재정규화되면 슈뢰딩거 방정식(고전적/비상대론적 에너지 근사에서 제한됨)이 구상된 (제한된) 방향입니다.))
부록 1: 오일러 공식
f(x)가 있고 x₀의 특정 근방에서 일반적인 급수와 같다고 가정합니다.
f(x) = ∑ₙ₌₀^∞ aₙ(x - x₀)ⁿ; 이제 x₀가 원점이라고 가정합니다. (x₀=0), → f(x) = ∑ₙ₌₀^∞ aₙxⁿ.
이제 다음과 같습니다. f(x) = ∑ₙ₌₀^∞ aₙxⁿ = a₀x⁰ + ∑ₙ₌₁^∞ aₙxⁿ = a₀ + ∑ₙ₌₁^∞ aₙxⁿ, 다음과 같습니다.
f(0) = a₀ + ∑ₙ₌₁^∞ aₙ0ⁿ = a₀ 또한 f'(x) = ∑ₙ₌₁^∞ naₙxⁿ⁻¹ = ∑ₙ₌₁^∞ naₙxⁿ⁻¹ 및:
f'(0) = a₁ + ∑ₙ₌₂^∞ naₙ0ⁿ⁻¹ = a₁ + 0 = a₁ 및:
f''(x) = ∑ₙ₌₂^∞ n(n-1)aₙxⁿ⁻² = ∑ₙ₌₂^∞ n(n-1)aₙxⁿ⁻² = 2(2-1)a₂x²⁻² + ∑ₙ₌₃^∞ n(n-1)aₙxⁿ⁻² = 2a₂ + ∑ₙ₌₃^∞ n(n-1)aₙxⁿ⁻²
따라서: f''(0) = 2a₂ + ∑ₙ₌₃^∞ n(n-1)aₙ0ⁿ⁻² = 2a₂ + 0 = 2a₂ → a₂ = \frac{1}{2} f''(0) 등등, 다음과 같습니다.
aₙ = \frac{1}{n!} f⁽ⁿ⁾(0) 마지막으로: f(x) = ∑ₙ₌₀^∞ aₙxⁿ = ∑ₙ₌₀^∞ \frac{1}{n!} f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ, 이것은 테일러 급수 전개입니다.
(이 경우 맥클로린의 것입니다). 이제 함수 f(x) = eˣ에 사용하면 다음과 같습니다.
eˣ = ∑ₙ₌₀^∞ \frac{1}{n!} f⁽ⁿ⁾(0) ⋅ xⁿ = 1 + x + \frac{1}{2} x² + \frac{1}{6} x³ + ... + \frac{1}{n!} xⁿ.
다음 세 가지 테일러 급수 전개를 고려하면:
eˣ = ∑ₙ₌₀^∞ \frac{1}{n!} f⁽ⁿ⁾(0) ⋅ xⁿ = 1 + x + \frac{1}{2} x² + \frac{1}{6} x³ + ... + \frac{1}{n!} xⁿ
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cosx = ∑ₙ₌₀^∞ \frac{1}{(2n)!} f⁽ⁿ⁾(0) ⋅ xⁿ = 1 - \frac{x²}{2} + ... + \frac{(-1)ⁿ}{(2n!)} x²ⁿ
sinx = ∑ₙ₌₀^∞ \frac{1}{(2n)!} f⁽ⁿ⁾(0) ⋅ xⁿ = x - \frac{x³}{6} + ... + \frac{(-1)ⁿ}{(2n+1)!} x²ⁿ⁺¹
첫 번째 식에서 x 대신 ix를 대입하면 다음과 같습니다.
eⁱˣ = ∑ₙ₌₀^∞ \frac{1}{n!} f⁽ⁿ⁾(0) ⋅ (ix)ⁿ = 1 + ix + i² \frac{x²}{2} + i³ \frac{x³}{6} + ... + \frac{1}{n!} iⁿ xⁿ = 1 + ix - \frac{x²}{2} + i² \frac{x³}{6} + ... + \frac{1}{n!} iⁿ xⁿ =
= 1 + ix - \frac{x²}{2} - i \frac{x³}{6} + ... + \frac{1}{n!} iⁿ xⁿ, 세 번째 전개식에서 다음과 같습니다.
isinx = ∑ₙ₌₀^∞ \frac{i}{n!} f⁽ⁿ⁾(0) ⋅ xⁿ = ix - \frac{i}{6} x³ + ... + \frac{i(-1)ⁿ}{(2n+1)!} x²ⁿ⁺¹, 따라서 eⁱˣ에 대해 이해합니다.
eⁱˣ = 1 + ix - \frac{x²}{2} - i \frac{x³}{6} + ... + \frac{1}{n!} iⁿ xⁿ = cosx + isinx ; 유사하게: e⁻ⁱˣ = cosx - isinx, 따라서 둘 다 사용하여 다음 오일러 공식을 얻습니다.
cosx = \frac{eⁱˣ + e⁻ⁱˣ}{2} , sinx = \frac{eⁱˣ - e⁻ⁱˣ}{2i} . eⁱˣ = cosx + isinx에서 x = π를 대입하면 eⁱᶠ + 1 = 0을 얻습니다.
게다가:
그림 1: 단위 원. 그림 2: 가우스 평면.
방금 증명된 오일러 공식을 미리 상기시켜 줍니다. eⁱᶠ = cosφ + isinφ 및
e⁻ⁱᶠ = cosφ - isinφ이고 이러한 두 방정식을 벡터 방정식으로 간주하면 이전 방정식(예:)은 다음과 같습니다. v⃗ = v⃗_x + i v⃗_y (여기서 v⃗_x = (cosφ)x̂ 및 v⃗_y = (sinφ)ŷ ), 따라서:
v⃗ = (cosφ)x̂ + i(sinφ)ŷ , 여기서 |v⃗| = 1 = |eⁱᶠ|, 그 구성 요소는 cosφ 및 sinφ입니다.
후자에 대해: v⃗ = v⃗_x - i v⃗_y (여기서 v⃗_x = (cosφ)x̂ 및 v⃗_y = (sinφ)ŷ ), 따라서:
v⃗ = (cosφ)x̂ - i(sinφ)ŷ , 여기서 |v⃗| = 1 = |e⁻ⁱᶠ|, 그 구성 요소는 cosφ 및 sinφ입니다.
[sin(-φ) = -sinφ].
뿐만 아니라 두 벡터, 녹색과 주황색(그림 2에서 eⁱᶠ 및 e⁻ⁱᶠ)은 제공합니다.
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수평축에서 2cosφ (eⁱᶠ + e⁻ⁱᶠ = 2cosφ)이므로 다음을 얻습니다. cosφ = \frac{eⁱᶠ + e⁻ⁱᶠ}{2} (오일러, 방금 증명됨).
마지막으로 두 벡터, 녹색과 빨간색 (eⁱᶠ 및 -e⁻ⁱᶠ)은 수직축에서 i2sinφ를 제공합니다 (eⁱᶠ + [-e⁻ⁱᶠ] = eⁱᶠ - e⁻ⁱᶠ = i2sinφ), 따라서 다음을 얻습니다. sinφ = \frac{eⁱᶠ - e⁻ⁱᶠ}{2i} (오일러, 방금 증명됨).
부록 2: 파동 함수
상대성이론에서 총 에너지 E는 다음과 같습니다.
E² = p²c² + m₀²c⁴ (A2.1)
이것은 에너지에 대해 우리가 가진 가장 일반적인 공식이며 상대론적 입자에 적합합니다.
이제 광자(정지 질량이 0인 입자)의 경우 E² = p²c²이고:
E = pc (A2.2)
비상대론적 입자의 경우 운동 에너지는 Eₖ = \frac{1}{2} m₀v²이지만 이것은 (A2.1)에 숨겨져 있으며, 실제로 더 일반적입니다. 실제로 (A2.1)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
E = m₀c²(1 + \frac{p²}{m₀²c²})^(1/2) (A2.3)
테일러 전개를 위해 다음이 있습니다.
f(x) = √1 + x = (1 + x)^(1/2) ≈ 1 + \frac{1}{2} x, 여기서 (A2.3)의 경우:
E = m₀c²(1 + \frac{p²}{m₀²c²})^(1/2) ≈ m₀c²(1 + \frac{p²}{2m₀²c²}) = m₀c² + \frac{p²}{2m₀} 그리고 운동 에너지를 위해 다음이 있습니다.
Eₖ = E - m₀c² = \frac{p²}{2m₀} = \frac{1}{2} m₀v² qed.
이제 파동에 대한 일반적인 표현식을 취해 보겠습니다.
Ψ = A ⋅ e^(i(k⃗ ⋅ x⃗ - ωt)) = A ⋅ e^(i(\frac{2π}{λ} k̂⋅x⃗ - \frac{2π}{T} vt)) (A2.4)
k⃗ = \frac{2π}{λ} k̂ , ω = 2πf = 2π \frac{v}{λ} .
이러한 파동은 공간(x)에서 동시에 전파되고 시간 t에서 진동합니다. 실제로 t=0으로 고정하면 x를 따라 진동하는 것을 볼 수 있습니다 (Ψ = A ⋅ e^(i(k⃗ ⋅ x⃗))) 그리고 x=0으로 고정하면 시간에서 진동합니다 (Ψ = A ⋅ e^(-i(ωt))).
또한 다음을 알고 있습니다.
E = hf = ħω (A2.5)
그리고 (A2.2)가 서 있으면 다음이 있습니다.
5
pc = ħω, 여기서:
p = ħ \frac{ω}{c} = ħ \frac{2π}{λ} = ħk = p (A2.6)
그리고 (A2.4)는 다음과 같습니다.
Ψ = A ⋅ e^(i(p⃗ ⋅ x⃗ - Eₖ t)/ħ) (A2.7)
다음 방정식에 이러한 Ψ를 간단히 대입하면:
(iħ \frac{∂}{∂t})Ψ = EΨ = (ħω)Ψ (A2.8)
(\frac{-ħ}{i} ∇⃗)Ψ = p⃗Ψ = (ħk⃗)Ψ ; (A2.9)
이것이 항등식을 제공하므로 올바릅니다.
1차원에서: (\frac{-ħ}{i} \frac{∂}{∂x})Ψ = pΨ = (ħk)Ψ ; (∇ 기울기)
따라서 다음 연산자 항등식을 도출할 수 있습니다.
E → iħ \frac{∂}{∂t} (A2.10)
p⃗ → \frac{-ħ}{i} ∇⃗ (A2.11)
(A2.2)가 E² = p²c²를 나타내므로:
(iħ \frac{∂}{∂t})²Ψ = c²(\frac{-ħ}{i} ∇⃗)²Ψ , (A2.12)
즉:
∇²Ψ - \frac{1}{c²} \frac{∂²Ψ}{∂t²} = 0 (A2.13)
또는 (∇² = Δ = \frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²} + \frac{∂²}{∂z²}, 라플라스 연산자, 기울기의 발산): ΔΨ - \frac{1}{c²} \frac{∂²Ψ}{∂t²} = 0 ,
이는 달랑베르 파동 방정식입니다.
이러한 방정식은 "상대론적" 환경(광자, 즉 속도 c로 전파되고 정지 질량이 0인 입자)에서 도출되었으며 로렌츠 변환에서 불변합니다.
이제 비상대론적 입자(원자는 일반적으로 이와 같습니다)를 고려하면 슈뢰딩거 방정식인 비상대론적 "파동" 방정식을 얻게 됩니다. 실제로 (A2.7)에서 E = pc를 더 이상 고려하지 않고 Eₖ = \frac{1}{2} m₀v² (실제로 비상대론적 방정식)를 고려하면 다음을 얻습니다.
Ψ = A ⋅ e^(i(p⃗ ⋅ x⃗ - Eₖ t)/ħ) = A ⋅ e^(i(p⃗ ⋅ x⃗ - \frac{p²}{2m₀} t)/ħ) (A2.14)
(A2.12)를 얻은 것처럼 다음 방정식에서 (A2.14)를 직접 사용하면:
(iħ \frac{∂}{∂t})Ψ = (\frac{-ħ²}{2m₀} ∇²)Ψ (A2.15)
6
(iħ \frac{∂}{∂t})Ψ = (\frac{-ħ²}{2m₀} \frac{∂²}{∂x²})Ψ (1차원에서)
항등식을 얻습니다. 따라서 (A2.15)는 참입니다. (A2.14)에서 더 이상 총 E를 사용하지 않고 Eₖ만 사용했으며 이를 고려할 것입니다.
(A2.15)의 왼쪽은 (iħ \frac{∂}{∂t})Ψ = EₖΨ이지만 Eₖ=H-V이므로 여전히 다음을 따릅니다.
(A2.15): \frac{-ħ²}{2m₀} ΔΨ = (H-V)Ψ , 즉:
ΔΨ + \frac{2m₀}{ħ²}(H-V)Ψ = 0 (A2.16)
이는 슈뢰딩거 방정식입니다.
정지 질량이 0이 아닌 상대론적 입자를 갖는 더 일반적인 상황으로 들어가 봅시다.
이전과 마찬가지로 (A2.1)의 경우 E = √(p²c² + m₀²c⁴)이므로 이러한 E를 사용하면
(A2.7)에서 E는 여전히 Ψ = A ⋅ e^(i(p⃗ ⋅ x⃗ - E t)/ħ)이므로 다음을 갖습니다.
Ψ = A ⋅ e^(i(p⃗ ⋅ x⃗ - √(p²c² + m₀²c⁴) t)/ħ) (A2.17)
그리고 평소와 같이 방정식을 다른 방정식에 도입하여 이러한 Ψ가 다음에 대한 해임을 알 수 있습니다.
(∇²Ψ - \frac{1}{c²} \frac{∂²Ψ}{∂t²}) - \frac{m₀²c²}{ħ²}Ψ = 0 (A2.18)
이는 클라인-고든 방정식일 뿐이며 달랑베르 방정식과 유사하지만 항목이 하나 더 있습니다.
(A2.17)을 (A2.18)에 실제로 도입하여 이 모든 것이 실제로 유지되는지 확인해 보겠습니다.
다음이 있습니다. ∇²Ψ = (i)² \frac{p²}{ħ²} Ψ = \frac{-p²}{ħ²} Ψ 및
- \frac{1}{c²} \frac{∂²Ψ}{∂t²} = - \frac{1}{c²} (-i)² \frac{E²}{ħ²} Ψ = \frac{1}{c²ħ²} (p²c² + m₀²c⁴)Ψ 따라서:
\frac{-p²}{ħ²} Ψ + \frac{1}{c²ħ²} (p²c² + m₀²c⁴)Ψ - \frac{m₀²c²}{ħ²}Ψ = 0 , 즉 0=0입니다.
l = \frac{m₀c}{ħ} 로 설정해 보겠습니다. 이러한 l은 차원적으로 파수 벡터 k와 같습니다. 이러한 l에 의해 (A2.17) 및 (A2.18)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
Ψ = A ⋅ e^(i(k⃗ ⋅ x⃗ - √(k⃗² + l²)ct)) = A ⋅ e^(i(k⃗ ⋅ x⃗ - ω't)) (A2.19)
7
∇²Ψ - \frac{1}{c²} \frac{∂²Ψ}{∂t²} - l²Ψ = 0 (A2.20)
여기서 ω' = √(k² + l²)c 입니다.
클라인-고든 방정식 (A2.20)을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.
\frac{-1}{c²} \frac{∂²Ψ}{∂t²} + c²∇²Ψ - l²c²Ψ = 0 (A2.21)
i² = -1이고 (a-b)(a+b) = a²-b²임을 고려하면 이러한 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
[i \frac{∂}{∂t} - (icα ⋅ ∇⃗ - β \frac{m₀c²}{ħ})][i \frac{∂}{∂t} + (icα ⋅ ∇⃗ - β \frac{m₀c²}{ħ})]Ψ = 0 , (A2.22)
또는:
[i \frac{∂}{∂t} - (icα ⋅ ∇⃗ - β \frac{m₀c²}{ħ})][i \frac{∂}{∂t} + (icα ⋅ ∇⃗ - β \frac{m₀c²}{ħ})]Ψ = 0 (A2.23)
(A2.22)는 다음과 같이 개발할 수 있습니다.
[-\frac{∂²}{∂t²} + c²(α ⋅ ∇⃗)² + i \frac{m₀c³}{ħ} β(α ⋅ ∇⃗) + i \frac{m₀c³}{ħ} (α ⋅ ∇⃗)β - β² \frac{m₀²c⁴}{ħ²}]Ψ = 0 (A2.24)
이 방정식은 (A2.21)과 동일합니다(다음의 경우).
β² = 1, αβ + βα = 0 , αᵢαⱼ = 1² (i=j인 경우) 및 αᵢαⱼ + αⱼαᵢ = 0 (i ≠ j인 경우)
알파에 대한 마지막 두 조건은 ∇²만 갖게 하고 ∇⃗에서 혼합된 항은 갖지 않게 합니다. (A2.23)은 다음과 같습니다.
(i \frac{∂}{∂t} + icα ⋅ ∇⃗ - β \frac{m₀c²}{ħ})Ψ = 0 (A2.25)
디랙 방정식으로 간주할 수 있으며, 일반적으로 자연 단위(ħ = c = 1, β = 1)로 다음 형식으로 제공됩니다.
(iγ^μ ∂_μ - m₀)Ψ = 0 , (A2.26)
여기서 iγ^μ ∂_μ = iγ^μ \frac{∂}{∂x^μ}이며, 아인슈타인 규칙에 따라 합계를 포함하며, μ의 값에 따라 시간 \frac{∂}{∂t} 및 ∇⃗ = (\frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y}, \frac{∂}{∂z})의 x, y 및 z에 대한 도함수를 제공합니다.
iγ^μ ∂_μ → i \frac{∂}{∂t} + icα ⋅ ∇⃗ .
마지막으로 기본 디랙 방정식 (A2.25)에서:
(i \frac{∂}{∂t} + icα ⋅ ∇⃗ - β \frac{m₀c²}{ħ})Ψ = 0 , 전자기 디랙 방정식에 도달할 수 있습니다.
8
[(iħ \frac{∂}{∂t} - qV) - cα ⋅ (\frac{-ħ}{i} ∇⃗ - qA⃗) - βm₀c²]Ψ = 0 (A2.27)
전자기 현상의 도입이 에너지 연산자에 대한 에너지 구성 요소(qV)와 같은 대수적 덧셈을 결정한다는 점을 간단히 고려하면:
E → iħ \frac{∂}{∂t} → (iħ \frac{∂}{∂t} - qV)
그리고 운동량 연산자 p⃗에 대한 운동량 구성 요소(qA⃗)는 실제로:
p⃗ → \frac{-ħ}{i} ∇⃗ → (\frac{-ħ}{i} ∇⃗ - qA⃗) .
모든 세부 사항은 다음 링크에 있습니다.
https://www.academia.edu/143522279/PREDICTION_OF_ANTIMATTER_AND_SPIN_ITA_ENG
PREDICTION OF ANTIMATTER AND SPIN_ITA+ENG
THEORETICAL PREDICTION OF THE ANTIMATTER AND OF THE SPIN -ELECTROMAGNETIC DIRAC EQUATION. ITA+ENG
www.academia.edu
부록 3: 반입자
전자기 디랙 방정식 (A2.27)을 고려해 보겠습니다.
[(iħ \frac{∂}{∂t} - qV) - cα ⋅ (\frac{-ħ}{i} ∇⃗ - qA⃗) - βm₀c²]Ψ = 0 (A3.1)
(위에서 언급한 링크에서 충분히 깊이 다루어짐) 디랙 해밀토니안과 함께:
H_D = qV + cα(p⃗ - qA⃗) + βm₀c² , (A3.1)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
[H_D - qV) - cα ⋅ (p⃗ - qA⃗) - βm₀c²]Ψ = 0 .
자, 이러한 전자기 디랙 방정식 (A3.1)을 고려하고 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.
(ħ \frac{∂}{∂t} + ħcα ⋅ ∇⃗ + iβm₀c²)Ψ = iq(cα ⋅ A⃗ - V)Ψ . (A3.2)
그리고 부록 2를 참조하여 모든 α와 β가 존중해야 하는 조건도 상기시켜 드립니다. β² = 1, αβ + βα = 0 , αᵢαᵢ = 1² , αᵢαⱼ + αⱼαᵢ = 2δᵢⱼ (i,j=1,2,3)이고 α 계수만 갖기 위해 다음을 지정합니다. β = α₄ , 따라서 더 간결한 스타일로 조건은 다음과 같습니다.
αᵢαⱼ + αⱼαᵢ = 2δᵢⱼ (i,j=1,2,3,4). 이제 이러한 조건을 만족하는 숫자가 존재하지 않을 수도 있지만, 다음과 같은 작업을 수행할 수 있는 행렬이 확실히 존재합니다.
σ₁ = | 0 1 0 0 | , σ₂ = | 0 -i 0 0 | , σ₃ = | 1 0 0 0 | (A3.3)
| 1 0 0 0 | | i 0 0 0 | | 0 -1 0 0 |
| 0 0 0 1 | | 0 0 0 -i | | 0 0 1 0 |
| 0 0 1 0 | | 0 0 i 0 | | 0 0 0 -1 |
ρ₁ = | 0 0 1 0 | , ρ₂ = | 0 0 -i 0 | , ρ₃ = | 1 0 0 0 | (A3.4)
| 0 0 0 1 | | 0 0 0 -i | | 0 1 0 0 |
| 1 0 0 0 | | i 0 0 0 | | 0 0 -1 0 |
| 0 1 0 0 | | 0 i 0 0 | | 0 0 0 -1 |
여기서: α₁ = ρ₁σ₁ , α₂ = ρ₂ , α₃ = ρ₁σ₃ , α₄ = ρ₃σ₂ ; 실제로 다음과 같은 모든 행렬 곱을 수행해야 합니다.
9
α₁ = ρ₁σ₁ = | 0 0 1 0 | | 1 0 0 0 | = | 0 0 0 1 | and check: →
| 0 0 0 1 | | 0 1 0 0 | | 0 1 0 0 |
| 1 0 0 0 | | 0 0 0 1 | | 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 | | 0 0 1 0 | | 0 0 1 0 |
→ α₁α₁ = | 0 0 0 1 | | 0 0 0 1 | = | 1 0 0 0 | → |α₁α₁| = | 1 0 0 0 | =1, then:
| 0 1 0 0 | | 0 1 0 0 | | 0 1 0 0 | | 0 1 0 0 |
| 1 0 0 0 | | 1 0 0 0 | | 0 0 1 0 | | 0 0 1 0 |
| 0 0 1 0 | | 0 0 1 0 | | 0 0 0 1 | | 0 0 0 1 |
α₂ = ρ₂ = | 1 0 0 0 | , α₂α₂ = | 1 0 0 0 | | 1 0 0 0 | = | 1 0 0 0 | and:
| 0 1 0 0 | | 0 1 0 0 | | 0 1 0 0 |
| 0 0 -1 0 | | 0 0 -1 0 | | 0 0 1 0 |
| 0 0 0 -1 | | 0 0 0 -1 | | 0 0 0 1 |
|α₂α₂| = | 1 0 0 0 | =1, then: 2 = α₁α₁ + α₄α₄ = 2δ₁₁ = 2 = α₂α₂ + α₂α₂ = 2δ₂₂ = 2 .
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
Then: α₃ = ρ₁σ₃ = | 0 0 1 0 | | 1 0 0 0 | = | 0 0 0 1 |
| 0 0 0 1 | | 0 -1 0 0 | | 0 0 -1 0 |
| 1 0 0 0 | | 0 0 1 0 | | 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 | | 0 0 0 -1 | | 0 -1 0 0 |
α₃α₃ = | 0 0 0 1 | | 0 0 0 1 | = | 1 0 0 0 | and: |α₃α₃| = | 1 0 0 0 | =1,
| 0 0 -1 0 | | 0 0 -1 0 | | 0 1 0 0 | | 0 1 0 0 |
| 1 0 0 0 | | 1 0 0 0 | | 0 0 1 0 | | 0 0 1 0 |
| 0 -1 0 0 | | 0 -1 0 0 | | 0 0 0 1 | | 0 0 0 1 |
then: 2 = α₃α₃ + α₃α₃ = 2δ₃₃ = 2 , then:
α₄ = β = ρ₃σ₂ = | 1 0 0 0 | | 0 -i 0 0 | = | 0 0 -i 0 |
| 0 1 0 0 | | i 0 0 0 | | 0 i 0 0 |
| 0 0 -1 0 | | 0 0 0 -i | | 0 0 i 0 |
| 0 0 0 -1 | | 0 0 i 0 | | 0 0 0 i |
α₄α₄ = | 0 0 -i 0 | | 0 0 -i 0 | = | 1 0 0 0 | and: |α₄α₄| = | 1 0 0 0 | =1,
| 0 i 0 0 | | 0 i 0 0 | | 0 1 0 0 | | 0 1 0 0 |
| 0 0 i 0 | | 0 0 i 0 | | 0 0 1 0 | | 0 0 1 0 |
| 0 0 0 i | | 0 0 0 i | | 0 0 0 1 | | 0 0 0 1 |
then: α₄α₄ + α₄α₄ = 2δ₄₄ = 2 .
Then: αᵢβ + βαᵢ = (αᵢα₄ + α₄αᵢ) = 0, in fact:
α₄α₁ + α₄α₁ = | 0 0 -i 0 | | 0 0 1 0 | + | 0 0 1 0 | | 0 0 -i 0 | =
| 0 i 0 0 | | 0 0 0 1 | | 0 0 0 1 | | 0 i 0 0 |
| 0 0 i 0 | | 1 0 0 0 | | 1 0 0 0 | | 0 0 i 0 |
| 0 0 0 i | | 0 1 0 0 | | 0 1 0 0 | | 0 0 0 i |
| i 0 0 0 | | -i 0 0 0 | | 0 0 0 0 |
= | 0 -i 0 0 | + | 0 i 0 0 | = | 0 0 0 0 | →0;
| 0 0 i 0 | | 0 0 -i 0 | | 0 0 0 0 |
| 0 0 0 -i | | 0 0 0 i | | 0 0 0 0 |
α₄α₁ + α₄α₂ = | 1 0 0 0 | | 0 0 -i 0 | + | 0 0 -i 0 | | 1 0 0 0 | =
| 0 1 0 0 | | 0 i 0 0 | | 0 i 0 0 | | 0 1 0 0 |
| 0 0 -1 0 | | 0 0 i 0 | | 0 0 i 0 | | 0 0 -1 0 |
| 0 0 0 -1 | | 0 0 0 i | | 0 0 0 i | | 0 0 0 -1 |
= | 0 0 0 -i | + | 0 0 0 i | = | 0 0 0 0 | →0.
| 0 0 i 0 | | 0 0 -i 0 | | 0 0 0 0 |
| 0 -i 0 0 | | 0 i 0 0 | | 0 0 0 0 |
| -i 0 0 0 | | i 0 0 0 | | 0 0 0 0 |
α₄α₄ + α₄α₃ = | 0 0 1 0 | | 0 0 -i 0 | + | 0 0 -i 0 | | 0 0 1 0 | =
| 0 0 0 -1 | | 0 i 0 0 | | 0 i 0 0 | | 0 0 0 -1 |
| 1 0 0 0 | | 0 0 i 0 | | 0 0 i 0 | | 1 0 0 0 |
| 0 -1 0 0 | | 0 0 0 i | | 0 0 0 i | | 0 -1 0 0 |
= | 0 -i 0 0 | + | 0 i 0 0 | = | 0 0 0 0 | →0.
| -i 0 0 0 | | i 0 0 0 | | 0 0 0 0 |
| 0 0 0 -i | | 0 0 0 i | | 0 0 0 0 |
| 0 0 -i 0 | | 0 0 i 0 | | 0 0 0 0 |
이제 α₄가 유일한 허수 행렬인 반면 α₁, α₂ 및 α₃는 실수임을 알았습니다. 자, 그 후에 (A3.2)의 복소 공액을 취하면 다음을 얻습니다. (모든 i를 -i로 바꾸고 모든 Ψ를 Ψ*로 바꿉니다)
(ħ \frac{∂}{∂t} + ħcα ⋅ ∇⃗ + iβm₀c²)Ψ* = -iq(cα ⋅ A⃗ - V)Ψ* (A3.5)
그리고 방정식의 왼쪽 마지막 항에서 +i는 변경되지 않았음을 알 수 있습니다. i가 -i로 바뀌었지만 동시에 β 행렬(β = α₄)은 허수 행렬(α₄)을 포함하고 그 안의 모든 i는 -i로 바뀝니다(그리고 그 반대도 마찬가지). 따라서 결국 해당 항에 최종 변경 사항이 없습니다.
자, (A3.5)는 (A3.2)와 동일한 모양을 갖지만 전하의 부호가 변경되었습니다(q→-q):
여기에서 양전자(반물질)의 존재에 대한 예측이 나옵니다.
11
부록 4: 하이젠베르크의 쿨롬
다음은 하이젠베르크 불확정성 원리입니다.
Δp ⋅ Δx ≥ ħ/2
ΔE ⋅ Δt ≥ ħ/2
양전자/전자와 같은 쌍 입자(+) / 반입자(-)의 출현(사전 소멸)을 절대적으로 규정하므로 두 입자가 나타나면 빛의 속도 c로 (시간 Δt 동안) 분리되어 상호 거리 Δx=r=cΔt에 도달하고 힘 F는 F=Δp/Δt라는 물리학에서도 알 수 있습니다.
Δp ⋅ Δx ≈ ħ/2 = ħ/ 4π ≈ FΔt ⋅ r = F r/c ⋅ r = F r²/c →
→ F = (ħc/4π) 1/r² ∝ 1/r²
이는 쿨롬의 법칙(*)에서 F와 1/r² 사이의 관계와 정확히 일치합니다.
F = 1/4πε₀ e²/r² ∝ 1/r² .
(*): 이 두 상수는 동일하지 않습니다. 즉, e²/4πε₀ ≠ ħc/4π 이 아니라 다음과 같습니다.
e²/4πε₀ = (2α) ħc/4π ≈ ħc/137 2/4π , 여기서 α는 미세 구조 상수입니다. 이 모든 것(추가 계수 2α)은 하이젠베르크 불확정성 원리가 입자/반입자 쌍이 아닌 원자에 걸쳐 형성되기 때문에 발생합니다. 실제로 입자와 자체 반입자가 나타나는 동안 질량 중심에서 각각 r/2의 거리를 이동하여 거리 r에서 분리됩니다. 반대로 H 원자의 경우 양성자는 전자에 비해(mₚ=1836mₑ) 매우 커서 실제로 전혀 움직이지 않고 시스템의 질량 중심에 머물러 있으므로 거리 r 전체가 가벼운 전자(1r)에 의해 실행됩니다. 여기서 (0r+1r)/2=r/2의 평균값을 얻고 2가 정당화됩니다.
마지막으로 137을 정당화하기 위해 양성자와 전자 사이의 질량 차이로 인해 분리 속도가 더 이상 c가 아니라 (양성자가 움직이지 않고 질량 중심에 머무르는) 유일한 전자가 H 원자의 양성자 주위에서 갖는 속도가 (명백히) c/137이라는 점을 알려드립니다.
12
부록 5: 하이젠베르크의 뉴턴
부록 4에서 우리는 쿨롬이 하이젠베르크에서 나온다는 것을 보여주었습니다. 이제 여기서 우리는 뉴턴이 쿨롬에서 나온다는 것을 보여줍니다. 따라서 결국 전이 속성 때문에 뉴턴도 하이젠베르크에서 나올 것입니다.
증명:
쿨롬이 뉴턴으로 들어간다는 것을 보여주는 우주에 대한 제안,
정말로.
다음은 그러한 우주입니다.
M_Univ = 1,59486 ⋅ 10^55 kg
R_Univ = 1,17908 ⋅ 10^28 m
T_Univ = 2πR_Univ/c = 2,47118 ⋅ 10^20 s
이러한 우주에서 우리는 질량이 보이는 것보다 많고 (오늘날에도 언급되듯이)
밀도는 관찰된 것입니다.
ρ = M_Univ/(4/3 π ⋅ R_Univ^3) = 2,32273 ⋅ 10^-30 kg / m^3
우주에 있는 모든 작은 전기적 상호 작용의 구성은 우주 자체를 구축합니다.
사실, 우연히 그렇게 될 것입니다.
1/4πε₀ e²/rₑ = G (mₑM_Univ)/R_Univ (통합 중력 - 전자기)
따라서 뉴턴은 쿨롬으로 들어갑니다.
더욱이 여전히 우연히:
mₑc² = G (mₑM_Univ)/R_Univ , G M_Univ/R_Univ² = a_Univ = G mₑ/rₑ² = g_EL = 7,62 ⋅ 10^-12 m/s² , h = 2mₑc²/T_Univ (수치적으로만)
R_Univ = √N rₑ (여기서 N = M_Univ / mₑ = 1,74 ⋅ 10^85), T_Univ/hrₑ = Gmₑ²/ħc = 1/137 = α ,
T_CMBR = (ħ/2mₑσ (M_Univ/4πR_Univ) )^¼ ≈ 2,7 K
(여기서 σ = 5,67 ⋅ 10^-8 W / m²K⁴는 슈테판-볼츠만 상수입니다). 더욱이:
T_CMBR = (3c³/80πσ M_Univ/R_Univ )^¼ = (72Gc¹¹ħ³ε₀⁴mₑ⁶/π²e⁸k⁴ )^¼ = 2,72846(02218319896) K ≈ 2,72846K
-그런 다음 하이젠베르크에 따르면: Δp ⋅ Δx = ħ/2 (단순성을 위해 등호 기호를 사용하고
ħ/2 = ħ/4π = 0,527 ⋅ 10^-34 J ⋅ s), 다음과 같이 말할 수 있습니다.
Δp ⋅ Δx = mₑ ⋅ c ⋅ Δx = mₑ ⋅ c ⋅ [1/(2π)² G M_Univ/R_Univ² ] = 0,527 ⋅ 10^-34 (수치적으로).
13
측정된 속도
태양
220 km/s
Δv
태양
160 km/s
이론적 속도(가시 물질로만 인한)
-우리 은하(밀키 웨이)에서 태양은 중심에서 8.5kpc 거리에 있으며
회전 속도는 160km/s여야 합니다. 이는 모든 것에서 나오는 중입자 물질로 인한 것입니다.
별과 모든 가시 물질. 그러나 우리는 태양의 속도가 220km/s라는 것을 알고 있습니다. 따라서
불일치 Δv는 60km/s입니다. (Δv=220-160=60km/s).
(1kpc=1000pc ; 1pc=1 파섹 =3.26 l.y.= 3.08⋅10¹⁶ m ; 1 광년 l.y.=9.46⋅10¹⁵ m )
(R_Gal-Sun = 8.5kpc = 27.71⋅10³ l.y.= 2.62⋅10²⁰ m는 태양에서 중심까지의 거리입니다.
밀키 웨이). 태양이 30kpc의 거리 R_GAL에 있었다면 동일한 속도를 가졌을 것입니다.
220km/s이지만 불일치 Δv는 더 커졌을 것입니다. 일반적으로 회전에서 우리는 알고 있습니다.
곡선: Δv = k√R_Gal-Sun , 여기서 k =constant; 지금, 우연히: → k = √(2G mₑ/rₑ²) = √(2GM_Univ/R_Univ³)
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