매듭이론

매듭 이론은 수학적 매듭을 연구하는 위상수학의 한 분야입니다. 여기서 매듭은 3차원 공간에 원을 묻어 넣은 형태로, 일상적인 매듭과는 달리 끈의 양 끝이 붙어 있는 폐곡선을 의미합니다 .

매듭 이론의 기본 개념

- 매듭의 동등성: 한 매듭을 자르거나 통과하지 않고 변형하여 다른 매듭으로 만들 수 있다면 두 매듭은 동등하다고 봅니다 .
- 매듭 분류: 매듭 이론의 핵심은 서로 다른 매듭들을 분류하는 것입니다. 매듭은 교차점의 수에 따라 분류되지만, 교차점 수가 증가하면 분류가 매우 복잡해집니다 .
- 매듭 불변량: 매듭을 구별하기 위해 매듭 불변량(매듭 다항식, 매듭 군 등)을 사용합니다 .

매듭 이론의 역사

- 매듭 이론은 1771년 프랑스 수학자 방데르몽드가 매듭의 위상수학적 특징을 강조하면서 시작되었습니다 .
- 19세기에는 가우스가 매듭에 대한 연구를 진행했으며, 20세기에는 막스 덴, 알렉산더 등이 매듭 군 등의 불변량 연구를 통해 이론을 발전시켰습니다 .

매듭 이론의 응용

- 물리학: 끈 이론, 양자장론 등 물리학의 여러 분야에서 활용됩니다 .
- 생물학: DNA와 같은 분자 구조를 이해하는 데 도움을 줍니다. DNA 복제 시 효소가 DNA를 풀고 다시 연결하는 과정을 설명하는 데 매듭 이론이 사용됩니다 .

라이데마이스터 변환

라이데마이스터 변환은 매듭을 단순화하고 동일한 매듭인지 확인하는 데 사용되는 도구입니다. 이 변환은 매듭 다이어그램에 적용해도 매듭의 본질은 바뀌지 않으며, 같은 매듭을 나타내는 서로 다른 다이어그램은 일련의 라이데마이스터 변환을 통해 서로 같게 만들 수 있습니다 .

자잔거 튜브가 어떻게 바퀴축을 매듭으로 통과 할까!

참고 : 고무줄 링. 실험