Multiple integration problems and their solutions - techniques for differentiating within integration (다중 적분 문제와 그 해법~적분 안에서 미분하는 기법 : Feynman trick)
이미지는 다중 적분 문제와 그 해법을 보여줍니다. 특히 Feynman trick (적분 안에서 미분하는 기법)을 사용하여 문제를 푸는 과정을 보여줍니다. 두 가지 문제가 제시되어 있고, 각 문제에 대한 해법이 자세히 나와 있습니다.
문제 1 (Q1):
이 문제는 다음 적분의 값을 구하는 것을 목표로 합니다.
plaintext
∫∫∫₀¹₀¹₀¹ dxdydz / (1 + x²y²z²)log(xyz)
해결 과정은 다음과 같습니다.
1. 적분 안에서 미분: 처음에 제시된 적분을 I(a) 라고 정의하고, 1 + a(xyz)² 를 분모에 추가하여 새로운 적분 I(a) 를 정의합니다. 그런 다음 a에 대해 미분합니다. 이 과정이 Feynman trick의 핵심입니다.
2. 급수 전개: 미분된 적분을 (xyz)² 의 거듭제곱으로 이루어진 급수로 전개합니다.
3. 항별 적분: 각 항을 적분합니다.
4. 무한급수 합: 최종적으로 무한급수의 합으로 표현된 결과를 얻고, 이 급수를 계산하여 최종 답을 구합니다. 이 과정에서 k가 무한대로 갈 때의 극한을 고려합니다.
5. 최종 결과: 최종적으로 적분의 값이 π/8 임을 보여줍니다.
문제 2 (Q2):
이 문제는 다음 적분에 대한 일반적인 공식을 증명하고, 특별한 경우(n=3)에 대한 값을 유도하는 것을 목표로 합니다.
plaintext
∫∫...∫₀¹₀¹...₀¹ (x₁x₂...xₙ)^(-1)ln(x₁x₂...xₙ) dx₁dx₂...dxₙ
해결 과정은 다음과 같습니다.
1. 증명: 주어진 적분이 ζ(n-1)/(n-1) 과 같음을 증명합니다. 여기서 ζ는 리만 제타 함수입니다.
2. 유도: n=3 인 경우에 대한 적분 값을 위에서 증명된 일반 공식을 이용하여 유도합니다. 이 과정에서 적분 안에서 미분하는 기법과 급수 전개를 다시 사용합니다. 최종적으로 적분 값이 π²/12 임을 보여줍니다.
전반적인 설명:
이 이미지는 다중 적분을 푸는 고급 기법을 보여주는 예시입니다. Feynman trick은 복잡한 적분을 더 간단한 형태로 변환하는 강력한 도구이며, 급수 전개와 항별 적분을 통해 문제를 해결합니다. 문제 2의 경우 수학적 귀납법이나 다른 고급 기법을 사용하여 일반적인 공식을 증명하는 과정이 필요할 것입니다. 이미지에 제시된 해법은 이러한 과정을 간략하게 요약한 것으로 보입니다. 각 단계의 자세한 설명은 추가적인 수학적 지식이 필요합니다.
#Feynman trick
#multiple integration
The image shows a problem and its solution involving multiple integrals, specifically using the Feynman trick (differentiating under the integral sign). Two problems are presented, each with detailed solutions.
Problem 1 (Q1):
This problem aims to find the value of the following integral:
plaintext
∫∫∫₀¹₀¹₀¹ dxdydz / (1 + x²y²z²)log(xyz)
The solution process is as follows:
1. Differentiating under the integral: The original integral is defined as I(a) and a new integral I(a) is defined by adding 1 + a(xyz)² to the denominator. Then, the integral is differentiated with respect to a. This is the core of the Feynman trick.
2. Series expansion: The differentiated integral is expanded into a series of powers of (xyz)².
3. Term-by-term integration: Each term is integrated.
4. Infinite series summation: Finally, the result is expressed as a sum of an infinite series, and this series is calculated to obtain the final answer. The limit as k approaches infinity is considered in this process.
5. Final result: The final result shows that the value of the integral is π/8.
Problem 2 (Q2):
This problem aims to prove a general formula for the following integral and derive the value for a specific case (n=3).
plaintext
∫∫...∫₀¹₀¹...₀¹ (x₁x₂...xₙ)^(-1)ln(x₁x₂...xₙ) dx₁dx₂...dxₙ
The solution process is as follows:
1. Proof: The proof shows that the given integral is equal to ζ(n-1)/(n-1), where ζ is the Riemann zeta function.
2. Derivation: The value of the integral for n=3 is derived using the general formula proved above. This process again involves differentiating under the integral sign and series expansion. The final result shows that the value of the integral is π²/12.
Overall explanation:
This image demonstrates an example of advanced techniques for solving multiple integrals. The Feynman trick is a powerful tool for transforming complex integrals into simpler forms, using series expansion and term-by-term integration to solve the problem. In the case of Problem 2, proving the general formula might require using mathematical induction or other advanced techniques. The solutions presented in the image are a brief summary of these processes. A detailed explanation of each step would require additional mathematical knowledge.