이미지는 **벡터장의 발산(Divergence)**을 설명하고 있습니다.
핵심 내용:
- 발산의 정의: 벡터장의 바깥쪽 플럭스의 부피 밀도.
- 발산의 계산: 3차원 벡터장 F = (P, Q, R)에 대해 div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z 로 계산됩니다.
- Source (발산): 벡터장이 한 점에서 밖으로 퍼져나가는 경우, 발산은 양수(∇ · F > 0)입니다.
- Sink (흡수): 벡터장이 한 점으로 모여드는 경우, 발산은 음수(∇ · F < 0)입니다.
- 발산이 0인 경우: 벡터장이 평행하게 흐르는 경우(예: 균일한 흐름), 발산은 0(∇ · F = 0)입니다.
설명:
발산은 벡터장이 특정 지점에서 얼마나 퍼져나가는지 또는 모여드는지를 나타내는 물리량입니다. 이는 유체역학, 전자기학 등 다양한 분야에서 중요한 개념으로 사용됩니다.
벡터장의 발산은 어떻게 계산하는가요?
벡터장 발산 계산 방법
벡터장 \mathbf{F} = (P, Q, R)의 발산은 다음과 같이 계산합니다.
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}
여기서:
- \mathbf{F}는 3차원 벡터장입니다.
- P, Q, R은 각각 벡터장 \mathbf{F}의 x, y, z 성분입니다. 즉, \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}입니다.
- \frac{\partial P}{\partial x}는 P를 x에 대해 편미분한 것입니다. 즉, y와 z를 상수로 취급하고 x에 대해서만 미분합니다.
- \frac{\partial Q}{\partial y}는 Q를 y에 대해 편미분한 것입니다. 즉, x와 z를 상수로 취급하고 y에 대해서만 미분합니다.
- \frac{\partial R}{\partial z}는 R를 z에 대해 편미분한 것입니다. 즉, x와 y를 상수로 취급하고 z에 대해서만 미분합니다.
예시:
벡터장 \mathbf{F}(x, y, z) = (x^2, 2xy, z^3)의 발산을 계산해 보겠습니다.
1. P = x^2, Q = 2xy, R = z^3입니다.
2. 각 성분을 편미분합니다.
- \frac{\partial P}{\partial x} = 2x
- \frac{\partial Q}{\partial y} = 2x
- \frac{\partial R}{\partial z} = 3z^2
3. 발산을 계산합니다.
\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 2x + 3z^2 = 4x + 3z^2
따라서 벡터장 \mathbf{F}(x, y, z) = (x^2, 2xy, z^3)의 발산은 4x + 3z^2입니다.
요약:
벡터장의 발산을 계산하려면 각 성분을 해당 변수에 대해 편미분한 다음 모두 더합니다.
이 설명이 도움이 되었기를 바랍니다. 추가 질문이 있으시면 언제든지 물어보세요.