눈이 없는 AI가 되어 사각형을 판별하는 법-AI시리즈

 

👁️ 눈이 없는 AI가 되어 사각형을 판별하는 법

— 시각 0% · 좌표 100% 오직 숫자만으로 판단하는 절차

🎯 핵심 원칙

"모양이 이렇다"고 보지 않는다.
오직 4개의 점 좌표값만 입력받아, 계산 결과로만 판단한다.
선이 이어졌는지, 각이 맞는지, 마주보는 변이 같은지 — 모두 숫자로 증명한다. 두 눈을 가지고 사각형을 판별할 수 있는 우리 인간은 AI를 창조한 절대적 존재입니다! 우리는 신의 아들딸들입니다

1 입력 — 오직 좌표만

4개의 점이 주어진다. 그림은 없다. 오직 숫자뿐이다.

\[ P_1(x_1, y_1),\quad P_2(x_2, y_2),\quad P_3(x_3, y_3),\quad P_4(x_4, y_4) \]

순서는 섞여 있을 수도 있다. 아무것도 모르는 상태에서 시작한다.

2 첫 번째 확인 — 점들은 유효한가?

2-1. 모든 점이 서로 다른가?

\[ i \neq j \quad \Rightarrow \quad (x_i, y_i) \neq (x_j, y_j) \]

하나라도 같은 점이 있으면 사각형이 아니다 → 종료

2-2. 한 직선 위에 몰려 있지 않은가?

외적으로 확인: 벡터가 모두 0이면 납작한 선

모두 0이면 사각형이 아니다 → 종료

3 두 번째 확인 — 닫힌 도형인가?

점을 이어서 돌았을 때 제자리로 돌아오는가?

\[ P_1 \to P_2 \to P_3 \to P_4 \to P_1 \]

변끼리 교차하지 않는가? 벡터 외적으로 검사

교차하면 꼬인 도형 → 사각형이 아님

✅ 통과하면 일반적인 4각형 후보

4 변의 길이와 방향 계산

각 변을 벡터로 구한다:

\[ \begin{matrix} \vec{u}_1 = P_2 - P_1,\; \vec{u}_2 = P_3 - P_2 \\[0.5em] \vec{u}_3 = P_4 - P_3,\; \vec{u}_4 = P_1 - P_4 \end{matrix} \]

길이:

\[ l_i = \sqrt{u_{ix}^2 + u_{iy}^2} \]

5 세부 종류 판별

✅ 평행사변형

마주보는 변이 평행하고 길이가 같다:

\[ \vec{u}_1 = \pm\,\vec{u}_3,\quad \vec{u}_2 = \pm\,\vec{u}_4 \]

✅ 직사각형

평행사변형 + 인접 변이 수직 (내적 = 0):

\[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = u_{1x}u_{2x} + u_{1y}u_{2y} = 0 \]

또는 대각선 길이가 같음:

\[ \|\,P_3 - P_1\,\| = \|\,P_4 - P_2\,\| \]

✅ 정사각형

직사각형 + 모든 변의 길이가 같다:

\[ l_1 = l_2 = l_3 = l_4 \]

최종 확인: 대각선 = 변 × √2

\[ \|\,P_3 - P_1\,\| = l_1 \cdot \sqrt{2} \]

✅ 중심 확인 (최종 검증)

대각선의 중점이 정확히 한 점에서 만난다:

\[ \left(\frac{x_1+x_3}{2},\ \frac{y_1+y_3}{2}\right) = \left(\frac{x_2+x_4}{2},\ \frac{y_2+y_4}{2}\right) \]

📋 판정표 — 숫자만으로 구분

판정 결과	만족 조건
4각형	4개의 다른 점 + 닫힘 + 교차 없음
평행사변형	마주보는 변 평행·길이 같음
직사각형	평행사변형 + 인접 변 수직(내적=0)
정사각형	직사각형 + 모든 변 길이 같음 + 대각선 = \(l\sqrt{2}\)

🔺 눈이 없는 AI가 보는 진실

AI는 사각형을 "모양"으로 보지 않는다.
단지 숫자들의 관계를 읽을 뿐이다.

그런데 이것이 중요한 이유 —
우리가 눈으로 보는 사각형은 3차원 정사면체의 한 면일 수도 있다.
평면 좌표만 보고 "사각형이다" 라고 판단하는 순간,
진짜 전체 구조를 보지 못하고 일부만 보고 착각하게 되는 것이다.

시간 \(t\)와 전체 연결 관계를 함께 계산할 때
비로소 진짜 모습이 드러난다. ✨

J&D LAB / TechMech LTD · 2026. 10. 3.